Sebelumnya kita telah melihat pengantar kombinatorik dan materi permutasi, kini kita akan membahas tentang kombinasi.
KOMBINASI. Definisi : Suatu himpunan dari k objek yang diambil dari n objek yang berbeda tanpa memperhatikan urutannya disebut kombinasi n objek setiap kali diambil k objek dengan k < n dinyatakan dengan notasi : C (n,k) atau nCk (dibaca kombinasi k objek dari n objek).
Teorema
Banyak kombinasi dari n objek yang berbeda setiap kali diambil k objek adalah :
C (n, k) = n! / k! (n-k)!
Bukti :
Setiap kombinasi dari n objek yang berbeda yang diambil k objek akan menghasilkan k permutasi. Karena tiap himpunan dari k objek yang berbeda dapat dipermutasikan dengan k! setiap kali diambil seluruhnya.
Dengan demikian
C (n,k) k! = P (n, k)
C (n,k) = [P (n,k)]/ k!
= [ n!/ (n-k)! ]/ k!
C (n,k) = n! / k! (n-k)!
Contoh :
Sebuah panitia terdiri atas Ketua, Wakil Ketua, Sekretaris, dan Bendahara. Berapa banyak susunan panitia yang dapat dibentuk dari 9 orang?
Jawab :
Konsep ini sebenarnya menggunakan permutasi, karena urutan ketua dan seterusnya diperhatikan. Namun kita akan menunjukkan hubungan antara kombinasi dan permutasi berdasarkan definisi di atas, yakni : C (n, k) k! = P (n,k)
Dalam hal ini n = 9 dan k = 4, karena setiap posisi yaitu ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara akan dijabat oleh 1 orang maka banyak cara memilih 4 orang dari 9 orang adalah :
C (9,4) = 9! / 4! (9-4)! = 9! / 4!5! = 126 cara.
Lantas posisi 1 adalah ketua, posisi 2 wakil ketua, posisi 3 sekretaris dan posisi 4 adalah bendahara maka urutan dalam cara-cara tersebut harus diperhatikan. Sehingga dengan demikian banyak susunan panitia yang dapat dibentuk adalah :
C (9, 4) 4! = 126 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3024 susunan.
Contoh lagi :
Untuk pemilihan 4 mahasiswa menjadi pengurus himpunan mahasiswa jurusan matematika FMIPA UNM terdapat 8 mahasiswa prodi pendidikan matematika dan 6 mahasiswa prodi matematika yang memenuhi syarat untuk dipilih. Berapa banyak cara memilih pengurus bila :
a. Semua anggota pengurus dari prodi pendidikan matematika
b. Semua anggota pengurus dari prodi yang sama
c. 2 mahasiswa per prodi harus mewakili
d. Sekurang-kurangnya anggota pengurus dari prodi pendidikan matematika
Jawab :
a. Banyak mahasiswa prodi pendidikan matematika yang memenuhi adalah 8 orang. Bila semua anggota pengurus dari prodi pendidikan matematika maka banyak cara memilih adalah
C (8,4) = 8! / 4! (8-4)!
= 8! / 4!4! = 8x7x26x5x4!/ 4x3x2x1x4! = 70 cara.
b. Karena kita akan memilih banyaknya pengurus berasal dari prodi yang sama, maka terlebih dahulu kita cari banyaknya kemungkinan mahasiswa prodi pendidikan matematika yang dapat terpilih atau mahasiswa matematika dapat terpilih.
Dari prodi pendidikan matematika 8 orang, harus dipilih 4 orang. Berarti kita hitung dengan menggunakan C (8,4) = 70 cara
Sedangkan dari prodi matematika, kita dapat memilih dengan C (6,4) = 6!/2!4! = 36x5x4!/2×4! = 15 cara.
Sehingga jika yang terpilih adalah mahasiswa dari prodi yang sama, kemungkinan banyak cara memilih adalah C (8,4) + C (6,4) = 70 + 15 = 85 cara
c. Jika anggota pengurus adalah 2 mahasiswa harus mewakili setiap prodi, maka kita harus menentukan banyak kemungkinan 2 mahasiswa tersebut terpilih dari masing-masing prodi.
Banyak pilihan dari prodi pendidikan matematika adalah C (8,2) = xx
Banyak pilihan dari prodi matematika adalah C (6,2) = yy
Banyaknya kemungkinan pilihan dari kedua prodi tersebut adalah C (8,2) x C (6,4) = xx.yy (Hasil diserahkan pada pembaca)
d. Karena kita akan mencari minimal 1 anggota dari pendidikan matematika, berarti kita dapat mencari besarnya kemungkinan dengan memperhatikan hal berikut ini.
[C (8,1) x C (6,3)] + [C (8,2) x C (6,2)] + [ C(8,3) x C (6,1)] + [ C(8,4) + (6,0)] = Sesuanto (Hasil diserahkan pada pembaca).
Contoh :
Seorang mahasiswa pascasarjana mempunyai teman belajar 11 orang.
a. Dengan berapa carakah ia dapat mengundang 5 orang diantaranya untuk belajar bersama.
b. Dengan berapa carakah jika 2 dari temannya adalah suami istri dan harus hadir bersama-sama.
c. Dengan berapa carakah jika 2 orang dari temannya berselisih dan tidak mau hadir bersama-sama.
Jawab :
a. Mahasiswa tersebut dapat mengundang 5 orang temannya dengan menggunakan perhitungan
C (11,5) = 11! / 5!6! = 11×210x39x8x7x6!/5x4x3x2x1x6! = 11 x 2 x 3 x 7 = 66 x 7 = 462 cara.
b. Jika A dan B adalah suami istri, maka saat A dan B hadir, 3 teman lainnya dapat diundang dengan cara C (9,3).
Jika A dan B tidak hadir, maka 5 orang teman lainnya dapat diundang dengan cara (9,5).
Jadi banyak cara memilih di bagian ini adalah C (9,3) + C (9,5) = 9!/3!6! + 9!/5!4! = 84 + 126 = 210 cara.
c. Misalkan A dan B adalah teman yang berselisih, maka kita melihat 3 kemungkinan.
Jika A hadir, maka B tidak hadir. Kemungkinannya adalah C (9,4) = 9!/4!5! = 126
Jika B hadir, maka A tidak hadir. Kemungkinannya adalah C (9,4) = 9!/4!5! = 126
Jika A dan B tidak hadir, maka kemungkinannya adalah C (9,5) = = 9!/4!5! = 126
Secara keseluruhan banyaknya cara memilih adalah C (9,4) + C (9,4) + C (9,5) = 378 cara.
