Penggunaan Variabel dalam Matematika
Sesuai kenyataan bahwa variabel tidak memiliki arti oleh dirinya seperti ungkapan berikut:
x adalah bilangan bulat
adalah bukan kalimat, meskipun memiliki bentuk gramatikal kalimat, mereka bukan ungkapan pernyataan yang tegas dan baik ditetapkan maupun disangkal dari ungkapan
x adalah bilangan bulat
kita hanya memperoleh kalimat jika kita mengganti “x” dengan konstanta yang merupakan angka tertentu; maka, sebagai contoh, jika “x” diganti dengan simbol “1” menghasilkan sebuah kalimat yang benar sebaliknya timbul kalimat yang salah jika mengganti “x” dengan “1/2”. Ungkapan seperti ini, yang memuat variabel dan penggantian variabel ini dengan konstanta, menjadi sebuah kalimat disebut fungsi sentensial. Tetapi ahli matematika, sangat tidak menyukai ungkapan ini, karena mereka menggunakan istilah “fungsi” dengan arti yang berbeda. Sering kali kata “kondisi” yang digunakan pada pengertian ini; dan fungsi sentensial dan kalimat disusun sepenuhnya dari simbol yang berhubungan dengan matematika (bukan kata dalam bahasa sehari-hari), seperti :
x + y = 5,
selalu ditunjukkan oleh ahli matematika sebagai rumus. Sebagai pengganti dari “fungsi sentensial” kita kadang-kadang dapat mengatakan “kalimat” tetpai hanya pada tempat yang tidak ditakutkan dari kesalahpahaman.
Peranan variabel pada fungsi sentensial kadang-kadang cukup dibandingkan dengan kekosongan pada daftar pertanyaan, sebagaimana daftar pertanyaan memuat isi tertentu hanya setelah yang kosong itu diganti, fungsi sentensial menjadi sebuah kalimat hanya setelah konstanta diselipkan pada variabel. Hasil dari pengganti variabel pada fungsi sentensial dengan konstanta- sama dengan konstanta yang diambil dari variabel yang sama-mungkin pedoman sebuah kalimat yang benar. Pada kasus ini, apa yang ditunjukkan oleh konstanta itu dikatakan memenuhi fungsi sentensial yang diberikan. Sebagai contoh, bagian 1, 2, dan memenuhi fungsi sentensial:
x < 3,
Tetapi bukan bilangan 3, 4, dan
Disamping fungsi sentensial lebih lamur ada beberapa ungkapan atau istilah yang memuat variabel-variabel yang menarik perhatian kita, yaitu disebut Designatori atau fungsi deskriptif. Mereka adalah ungkapan yang menggantikan variabel dengan konstanta, berubah kedalam penandaan (“gambaran”) tentangnya. Sebagai contoh ungkapan:
2 x + 1
Adalah fungsi designatori, karena kita memperoleh penandaan dari sebuah bilangan pasti (yaitu bilangan 5), jika kita mengganti variabel “x” itu dengan urutan angka konstanta yang berubah-ubah, itu adalah konstanta yang berupa sebuah bilangan (yaitu 2).
Diantara fungsi designatori terdapat dalam aritmatika, kita mempunyai, semua keterangan-keterangan, yang disebut ungkapan, yang bersifat aljabar yang disusun dari variabel, konstanta yang berturut dan simbol dari empat pokok operasi aritmatika, seperti:
$latex x-y, \frac {x+1}{y+2}, 2.(x + y + z) $
Persamaan aljabar pada sisi lain, itu dikatakan rumus dari dua ungkapan aljabar yang dihubungkan dengan simbol ‘=’ adalah fungsi sentensial. Sepanjang persamaan yang menyangkut istilah khusus menjadi biasa dalam matematika, maka variabel yang terdapat pada sebuah persamaan berhubungan sebagai sesuatu yang tidak diketahui, dan bilangan yang memenuhi persamaan disebut akar dari persamaan itu, yaitu pada persamaan;
x^2 + 6 = 5x
Variabel ‘x” tidak diketahui, sementara bilangan 2 dan 3 adalah akar dari persamaan.
Variabel ‘x’, ‘y’…. digunakan pada aritmatika itu dikatakan bahwa mereka berlaku untuk penunjukan dari bilangan atau bilangan itu adalah nilai dari variabel ini. Dengan demikian kira-kira arti berikut adalah fungsi sentensial dengan sumbu ‘x’, ‘y’….menjadi sebuah pernyataan, jika simbol itu diganti dengan konstanta sebagai penanda bilangan (dan bukan dengan ungkapan yang menunjukkan operasi pada bilangan, relasi diantara bilangan atau dasar bagian luar yang sama dari aritmatika seperti bentuk geometri, binatang-binatang, tumbuh-tumbuhan dan lain-lain sebagainya). Demikian juga, variabel terdapat pada geometri berlaku untuk menunjukkan titik dan bidang geometri. Fungsi designatori yang kita jumpai pada aritmatika dapat juga dikatakan berlaku untuk menunjukkan bilangan. Kadang-kadang secara sederhana dikatakan dengan simbol “x’’y’…mereka sendiri, seperti fungsi designatori yang dibuat diluar darinya, merupakan bilangan atau menunjukkan bilangan, tetapi hanya singkatan istilah.
Pembentukan pernyataan dengan arti variabel-umum dan pernyataan eksistensial
Selain dari pada penggantian variabel dan konstanta ada cara yang lain dimana kalimat dapat diperoleh dari fungsi sentensial. Mari kita pertimbangkan rumus :
X + Y = Y + X
Itu adalah fungsi sentensial yang memuat dua variabel “x” dan “yang” itu dipenuhi oleh pasangan bilangan yang berubah-ubah; jika kita menempatkan angka konstanta pada tempat “x” dab “y”, kita selalu memperoleh sebuah rumus yang benar. Kita mengungkapkan dengan singkat fakta ini pada cara yang berurutan.
Untuk bilangan x dan y, x + y = y + x. Ungkapan itu hanya diperoleh setelah kalimat asli dan selain itu, kalimat yang benar; kita mengenal itu pada satu pokok hukum dari aritmatika, disebut hukum kumulatif dari penjumlahan. Teorema yang sangat penting dari matematika yaitu rumus yang sama, yaitu disebut pernyataan umum, atau pernyataan karakter yang umum, yang mana penegasannya berubah-ubah pada sebuah kelompok yang pasti (yaitu, pada kasus aritmatika, bilangan yang berubah-ubah) memiliki seperti dan seperti sebuah sifat. Itu memiliki perhatian pada perumusan pernyataan umum pada ungkapan ‘untuk sesuatu (atau bilangan), x, y, …’ sering dihilangkan dan telah dipasang rohaniah’, maka sebagai contoh hukum kumulatif penjumlahan bisa diberikan pada bentuk berikut:
x + y = y + x
ini telah menjadi pemakaian yang diterima dengan baik, yang mana biasanya kita dapat melekat pada bagian pertimbangan selanjutnya.
Mari kita sekarang pertimbangkan fungsi sentensial;
x > y + 1
rumus tentu ini pasti dipenuhi oleh setiap pasangan bilangan; jika sebagai contoh ‘3’ ditempatkan pada tempat ‘x’ dan ‘4’ pada tempat ‘y’, kalimat itu salah;
3 > 4 + 1
Adalah diperoleh. Oleh karena itu, jika satu dikatakan
Untuk bilangan x dan y, x > y + 1, satu pasti benar berarti, lebih dahulu dengan jelas salah; kalimat. Ada pada sisi lain, pasangan bilangan yang memenuhi fungsi sentensial di bawah pertimbangan; jika, sebagai contoh, ‘x’ dan ‘y’ diganti ‘4’ dan ‘2’ berturut-turut, menghasilkan rumus yang benar;
4 > 2 + 1
Pada keadaan ini ditegaskan secara singkat pada bagian berikut;
Untuk beberapa x dan y, x > y + 1
Ada bilangan x dan y seperti itu x > y + 1 ungkapan yang diberikan adalah pernyataan yang benar; mereka adalah contoh dari pernyataan eksistensial atau pernyataan dari sifat eksistensial adanya keadaan (yaitu bilangan) dengan sifat yang pasti.
Dengan bantuan metode yang digambar kita dapat memperoleh pernyataan dari fungsi esensial yang diberikan, tetapi itu tergantung pada konteks fungsi sentensial apakah kita mencapai kebenaran atau pernyataan salah, contoh berikut bisa disajikan sebagai gambaran lebih lanjut. Rumus:
x = x + 1
Adalah dipenuhi oleh bukan bilangan, karena itu, bukan persoalan apakah kata “untuk bilangan x” atau “ada bilangan x seperti itu’ diawali, hasil pernyataan yang akan salah.
Pada perbedaan karena berlawanan pernyataan umum atau sifat eksistensial kita bisa menunjukkan pernyataan yang tidak memuat variabel, seperti;
3 + 2 = 2 + 3
Sebagai pernyataan bentuk tunggal. Pengelompokan ini tidak secara mendalam, selam disana banyak pernyataan yang tidak dapat diperhitungkan diantara tiga kategori yang disebutkan. Sebuah contoh yang diawali oleh pernyataan berikut:
Untuk bilangan x dan y ada bilangan z seperti;
x = y + z
pernyataan seperti ini kadang-kadang disebut Pernyataan eksistensial bersyarat. (sebagai lawan pernyataan eksistensial sebelum dipertimbangkan, yang bisa juga disebut pernyataan eksistensial yang benar); mereka dengan adanya bilangan diperoleh sifat yang pasti. Tetapi pada kondisi itu ada bilangan pasti yang lain.
Salam …
