Mempelajari probabilitas kejadian sangat bermanfaat bagi pengambilan keputusan yang tepat, karena kehidupan di dunia tidak ada kepastian, dan setiap pengambilan keputusan jarang memiliki informasi yang lengkap, sehingga perlu untuk mengetahui berapa besar probabilitas suatu kejadian akan terjadi. Probabilitas adalah suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 atau dalam persentase. Probabilitas 0 menunjukkan peristiwa yang tidak mungkin terjadi, sedang probabilitas 1 menunjukkan peristiwa pasti terjadi.
Pada suatu percobaan di mana hanya ada satu peristiwa yang terjadi, sehingga peristiwa lain tidak dapat terjadi pada suatu percobaan dengan waktu yang sama dikenal dengan peristiwa saling lepas (mutually exclusive). Probabilitas suatu kejadian dinyatakan sebagai berikut :
( jumlah peristiwa yang terjadi : jumlah total percobaan/ kegiatan)
Untuk menentukan besarnya probabilitas suatu peristiwa didasarkan pada penilaian pribadi dan dinyatakan dalam derajat kepercayaan. Peniliaan subjektif diberikan karena terlalu sedikit atau tidak ada informasi yang diperoleh atau berdasarkan keyakinan.
Apabila suatu peristiwa terjadi, peristiwa lain tidak dapat terjadi pada saat bersamaan (peristiwa saling lepas), maka probabilitas dapat dihitung dengan hukum penjumlahan, yaitu :
P(A atau B) = P(A) + P(B)
Untuk kejadian yang lebih banyak dilambangkan sampai n, yaitu :
P(A atau B atau … n) = P(A) + P(B) + … + P(n)
Pada peristiwa bersama dua atau lebih peristiwa dapat terjadi secara bersama-sama
P(A atau D) = P(A) + P(D)
Sedangkan untuk peristiwa saling lepas, kejadian bersama dalam suatu percobaan atau kejadian tidak ada. Oleh sebab itu, untuk peristiwa yang saling lepas, probabilitas kejadian A atau B yang dinyatakan P(A atau B) :
P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(AB)
Karena P(AB) = 0 ; maka
P(A atau B) = P(A) + P(B) -0
Sehingga P(A atau B) dinyatakan sebagai berikut : P(A atau B) = P(A) + P(B)
Hukum perkalian menghendaki setiap peristiwa adalah independen yaitu suatu peristiwa terjadi tanpa harus menghalangi terjadinya peristiwa B. Oleh sebab itu, perlu diingatkan bahwa untuk penjumlahan menghendaki peristiwa saling lepas, sedang untuk perkalian menghendaki peristiwa independen. Peristiwa independen adalah terjadinya suatu peristiwa atau kejadian tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya peristiwa lain. Hukum perkalian untuk probabilitas kejadian A dan B yang saling independen dinyatakn sebagai berikut : P(A dan B) = P(A) x P(B)
Probabilitas bersyarat adalah probabilitas suatu peristiwa akan terjadi dengan ketentuan peristiwa yang lain akan terjadi. Probabilitas bersyarat dilambangkan dengan P(A|B) yaitu probabilitas peristiwa A, dengan syarat peristiwa B telah terjadi. Hukum perkalian untuk probabilitas bersyarat bahwa peristiwa B terjadi dengan syarat peristiwa A telah terjadi dinyatakan sebagai berikut : P(A dan B) = P(A) x P(B|A)
Peristiwa pelengkap menunjukkan bahwa apabila ada dua peristiwa Z dan B yang saling melengkapi, sehingga jika peristiwa A tidak terjadi, maka peristiwa B pasti terjadi. Maka probabilitas keduanya dapat dirumuskan sebagai berikut:
P(A) + P(B) = 1 atau P(A) = 1 – P(B)
Diagram pohon merupakan suatu diagram yang menyerupai pohon dimulai dari batang kemudian menuju ranting dan daun. Diagram pohon dimaksudkan untuk membantu menggambarkan probabilitas atau probabilitas bersyarat dan probabilitas bersama. Diagram pohon sangat berguna untuk menganalisis keputusan-keputusan bisnis di mana terdapat tahapan-tahapan pekerjaan. Untuk menyusun diagram pohon ada beberapa tahap ;
- Tahap 1 adalah langkah awal kegiatan, kita mulai dengan memberi tanda titik atau bulatan dengan angka 1. Tahap 1 diumpamakan sebagai pohonnya. Nilai probabilitas pada tahap 1 adalah = 1.
- Tahap 2, membuat cabang.
- Tahap 3, membuat ranting
- Tahap 4, menghitung probabilitas bersama(joint probability). Nilai probabilitas keseluruhan pada tahap 4 juga harus sama dengan 1.
Teorema Bayes
P(A1|B) = P(A1) x P(B|A1) / P(A1) x P(B|A1) + P(A2) x P(B|A2)
Rumus di atas merupakan probabilitas bersyrat, suatu kejadian terjadi setelah kejadian lain ada. P(A1|B) menyatakan bahwa fakta-fakta di bumi akan ada apabila Tuhan ada. Mengingat bahwa di bumi ini banyak sekali fakta dari fakta A1 sampai Ai, maka Teorema Bayes diperluas menjadi:
P(Ai|B) = P(Ai)xP(B|Ai) /P(A1) x P(B|A1) + P(A2) x P(B|A2) + … + P(Ai) x P(B|Ai)
Perlu ditekankan bahwa kita akan memperlakukan probabilitas sebagai suatu ukuran yang diperlukan dan berguna dalam persoalan yang menyangkut lebih dari satu peristiwa atau hasil yang mungkin. Khususnya, kita akan menghindarkan pertanyaan filosofis mengenai makna arti ukuran probabilitas (probability measure), dan hanya melihat segi penggunaan ilmu probabilitas dan teori matematikanya untuk membuat model masalah-masalah yang berada pada kondisi yang tidak pasti. Hal ini sama dengan pemakaian koefisien keamanan dalam disain rekayasa tanpa menghiraukan arti sebenarnya, atau menerapkan hukum kedua Newton (mengenai gerak) tanpa mementingkan arti dari masasa dan gaya.
Namun, kegunaan probabilitas yang dihitung akan bergantung pada ketetapan dari dasar penentuannya. Dalam hal ini, kita lihat bahwa berlakunya dasar yang ditentukan lebih dulu untuk menghitung probabilitas bergantung pada kelayakan (ketepatan) dari asumsi yang digunakan, sedangkan dasar frekuensi relative empiris harus mengandalkan sejumlah besar data pengamatan. Bila data yang ada terbatas, manfaat frekuensi relative dengan sendirinya menjadi terbatas.
Dasar ketiga untuk menghitung probabilitas melibatkan kombinsi dari asumsi intuitif atau subyektif dengan pengamatan eksperimental; sarana yang cocok untuk kombinasi ini adalah teorema Bayes dan hasilnya dikenal sebagai probabilitas Bayes (Bayes probability).
Masalah probabilitas melibatkan penentuan probabilitas suatu peristiwa dalam suatu himpunan yang sempurna dari probabilitas (atau ruang kemungkinan). Ada dua hal yang sangat penting dalam perumusan danpenyelesaian masalah semacam itu ;
1. Definisi ruang kemungkinan dan identifikasi dari peristiwa di dalam ruang ini;
2. Perhitungan probabilitas perhitungan tersebut
Dasar matematika yang relevan dan berguna untuk tujuan ini adalah teori himpunan dan teori probabilitas. Jika didefenisikan dalam konteks himpunan, peristiwa-peristiwa dapat dikombinasikan untuk memperoleh peristiwa lain melalui aturan operasi dari himpunan dan sub-himpunan; pada dasarnya, ini menyangkut gabungan(union) dan perpotongan(intersection) dari dua peristiwa atau lebih termasuk komplemen-komplemennya. Dengan cara serupa, aturan-aturan operasi dari probabilitas menyajikan dasar untuk hubungan-hubungan deduktif di antara probabilitas-probabilitas dari peristiwa-peristiwa yang berbeda di dalam ruang probabilitas tertentu; khususnya, ini terdiri dari aturan pertambahan(addition rule), aturan perkalian,teorema probabilitas total,dan teorema Bayes
