BAB I
HAKIKAT MATEMATIKA
Pengertian Matematika
Berdasarkan etimologi perkataan matematika berarti ilmu pengetahuan yang diperoleh dengan bernalar. Di sisi lain matematika dipadang sebagai ilmu tentang logika mengenai bentuk, susunan, besaran dan konsep-konsep yang berhubungan satu dengan lainnya dan terbagi dalam tiga bidang, yaitu aljabar, analisis dan geometri.
Di Indonesia setelah penajajakan Belanda dan Jepang, digunakan istilah “ilmu pasti” ini menimbulkan kesan bahwa pelajaran matematika merupakan pelajaran tentang perhitungan-perhitungan yang memberikan hasil yang “pasti” dan “tunggal”. Hal tersebut dapat menimbulkan suatu miskonsepsi yang harus ditiadakan. Justru kemungkinan ketidak unggulan hasil itu dapat dimanfaatkan dalam pembelajaran matematika untuk mengaktifkan siswa atau student active learning.
Karakteristik Matematika
@ Memiliki objek abstrak
Fakta
Fakta berupa konvensi-konvensi yang diungkap dengan simbol tertentu. Simbol bilangan “3” secara umum sudah dipahami sebagai bilangan “tiga”. Sebaliknya kalau seseorang mengucapkan kata “tiga” dengan sendirinya dapat disimbolkan dengan “3”. Fakta lain dapat terdiri atas rangkaian simbol, misalnya “3×5 = 15” adalah fakta yang dipahami sebagai “tiga kali lima adalah lima belas”. Dalam geometri juga terdapat simbol-simbol tertentu yang merupakan konvensi, misalnya “//” yang bermakna “sejajar”. “0” yang bermakna “lingkaran”
Konsep
Konsep adalah idea abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan sekumpulan “segitiga” adalah nama suatu konsep abstrak. Dengan konsep itu sekumpulan objek dapat digolongkan sebagai contoh segitiga ataukah bukan.
Contoh : ‘Bilangan asli” adalah nama suatu konsep yang lebih kompleks karena bilangan asli terdiri dari banyak konsep sederhana yaitu bilangan “satu, dua, tiga dan seterusnya”.
Operasi
Operasi adalah pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar dan pengerjaan matematika yang lain, sebagai contoh misalnya “penjumlahan”, “perkalian”, “gabungan” “insan”. Unsur-unsur yang dioperasikan juga abstrak. Pada dasarnya operasi dalam matematika adalah suatu relasi khusus operasi adalah aturan untuk memperoleh elemen tunggal dari satu atau lebih elemen yang diketahui.
Prinsip
Prinsip adalah objek matematika yang kompleks. Prinsip dapat terdiri dari beberapa fakta, beberapa konsep yang dikaitkan oleh suatu relasi ataupun operasi. Secara sederhana dapatlah dikatakan bahwa prinsip adalah hubungan antara berbagai objek dasar matematika. Prinsip dapat berupa aksioma, teorema, sifat dan sebagainya.
- Bertumpu pada kesepakatan. Kesepakatan yang amat mendasar dalam matematika adalah aksioma dan konsep primitif. Aksioma diperlukan untuk menghindarkan berputar-putarnya argumentasi dalam pembuktian. Sedangkan konsep primitif diperlukan untuk mengindarkan berputar-putar dalam pendefenisian
- Berpola pikir deduktif. Pola pikir deduktif secara sederhana dapat dikatakan pemikiran yang berpangkal dari hal yang bersifat umum diterapkan atau diarahkan pada hal yang bersifat khusus. Banyak teorema dalam matematika yang ditemukan melalui pengamatan-pengamatan khusus, misalnya teorema Pythagoras. Bila hasil pengamatan tersebut dimasukkan dalam suatu struktur matematika tertentu maka teorema yang ditemukan harus dibuktikan secara deduktif dengan menggunakan teorema dan definisi terdahulu yang telah diterima.
- Memiliki simbol yang kosong dari arti. Dalam matematika terdapat banyak sekali simbol yang digunakan baik berupa huruf ataupun bukan huruf. Huruf-huruf yang digunakan dalam model persamaan, misalnya x + y = z beklum tentu bermakna atau berarti bilangan. Makna huruf itu tergantung dari permasalahan yang mengakibatkan terbentuknya model tersebut. Jadi secara umum bentuk dan tanda x + y = z masih kosong dari arti
- Memperhatikan semesta pembicaraan. Dalam menggunakan matematika diperlukan kejelasan dalam lingkup apa simbol itu dipakai. Bila lingkup pembicaraannya bilangan, maka simbol-simbol diartikan bilangan. Bila lingkup pembicaraannnya transformasi maka simbol-simbol itu diartikan suatu transformasi. Lingkup pembicaraan itu yang disebut semesta pembicaraan.
- Konsisten dalam sistemnya. Dalam matematika terdapat banyak sistem. Ada sistem yang mempunyai kaitan satu sama lain tetapi juga ada sistem yang dapat dipandang terlepas satu sama lain. Misal dikenal sistem-sistem aljabar atau sistem-sistem geometri. Sistem aljabar dan sistem geometri tersebut dapat dipandang terlepas satu sama lain tetapi di dalam sistem aljabar sendiri terdapat beberapa sistem yang lebih kecil yang terkait satu sama lain misalnya sistem aksioma dari group, sistem aksioma dari ring dan sebagainya. Demikian juga dalam sistem geometri, terdapat sistem kecil yang berkaitan satu sama lain. Misalnya sistem geometri netral, sistem geometri Euclides, dan lain sebagainya. Di dalam masing-masing sistem dan struktur berlaku konsistensi baik dalam makna maupun dalam hak nilai kebenarannya. Kalau telah disepakati bahwa a + b = x dan x + y = p, maka a + b + y harus sama dengan p.
- Sistem dan Struktur dalam Matematika
Sistem adalah sekumpulan unsur atau elemen yang terkait satu sama lain dan mempunyai tujuan tertentu. Unsur atau elemen dalam sistem itu sangat tergantung semesta pembicaraan.
Struktur adalah sistem yang di dalamnya memuat hubungan yang hirarki. Suatu sistem aksioma yang diikuti dengan teorema-teorema yang dapat diturunkan dari padanya membentuk suatu struktur.
Di dalam suatu struktur matematika yang lengkap itulah terdapat “konsep primitif atau underfined terms”, “aksioma-aksioma”, konsep-konsep lain yang didefinisikan dan teorema-teorema. Unsur terakhir ini sering memuat betuk “lemma” atau “corollary” bahkan kadang-kadang juga kriteria.
Beberapa buah aksioma, yang berupa beberapa buah pertanyaan dapat membentuk suatu sistem apabila memenuhi syarat tertentu yaitu independent atau bebas, konsisten atau taat asas dan lengkap.
- Hakim Tertinggi Matematika
Kebenaran merupakan hal yang sangat penting dalam ilmu pengetahuan maupun di luar ilmu pengetahuan. Dalam keilmuan biasanya dikenal tiga jenis kebenaran yaitu :
- Kebenaran konsistensi. Kebenaran suatu pernyataan yang didasarkan kepada kebenaran-kebenaran yang diterima terlebih dahulu
- Kebenaran Korelasi. Kebenaran suatu pernyataan yang didasarkan kepada kecocokannya dengan kenyataan yang ada.
- Kebenaran pragmatik. Kebenaran suatu pernyataan yang di dasarkan atas manfaat atau kegunaan dari intensi pernyataan itu.
Perhatikan definisi berikut ini :
- Sudut adalah bangun yang terjadi jika dua sinar berpangkal sama
- Sudut adalah daerah bidang yang dibatasi oleh dua sinar berpangkal sama
Dengan menggunakan definisi (a) belum dapat menentukan besar sudut, titik dalam sudut dan setengah sudut. Perlu didefinisikan daerah sudut. Dengan menggunakan definisi (b) sudah dapat uraian di atas menunjukkan bahwa hakim suatu pernyataan dalam matematika adalah struktur yang disepakati untuk digunakan hakim atau penentu kebenaran suatu pernyataan dalam matematika adalah strukturnya.
BAB II
HAKIKAT PENDIDIKAN MATEMATIKA
- MATEMATIKA SEKOLAH
Penyajian Matematika
Penyajian atau pengungkapan butir-butir matematika di sekolah disesuaikan dengan perkiraan pengembangan intelektual peserta didik (siswa).
Pengertian perkalian di dahului dengan penjumlahan berulang dengan menggunakan peraga, kelereng, misalnya. Dengan mengelompokkan kelereng menjadi 4 kelompok yang berisi 3 kelereng, guru menjelaskan 4 x 3 adalah 12. Dengan cara mengubah cara pengelompokkan guru menunjukkan bahwa 3 x juga 12. Hasilnya sama tetapi beda makna perkaliannya. Selanjutnya setelah memahami makna perkalian dengan baik barulah siswa diminta menghafalkan perkalian-perkalian dasar-dasar. Menghafal dalam matematika tidaklah dilarang tetapi hendaklah dilakukan setelah memahaminya.
Tentu dapat dipahami bahwa penyajian matematika di SMU berbeda dengan di SMP atau di SD. Hal ini didasarkan pada tahap perkembangan intelektual siswa SMU yang semestinya sudah berada pada tahap operasional formal. Jadi tidak banyak butir matematika sekolah yang disajikan secara induktif kecuali untuk kelas yang lemah.
Pola pikir matematika
Pola pikir matematika sebagai ilmu adalah deduktif, sifat atau teorema yang ditemukan secara induktif ataupun empiric kemudian dibuktikan kebenarannya dengan langkah-langkah deduktif sesuai strukturnya. Tidaklah demikian halnya dengan matematika sekolah. Meskipun siswa pada akhirnya pembelajarannya dapat digunakan pola pikir induktif. Pola pikir induktif yang digunakan dimaksudkan untuk menyesuaikan dengan tahap perkembangan intelektual siswa.
Keterbatasan semesta
Sebagai akibat dipilihnya unsur atau elemen matematika sekolah dengan memperhatikan aspek kependidikan, dapat terjadi “penyederhanaan” pada konsep matematika yang kompleks. Pengertian semesta pembicaraan tetap diperlukan namun mungkin sekali lebih di persempit. Selanjutnya semakin meningkat usia siswa, yang berarti meningkat jug tahap perkembangannya, maka semesta itu berangsur lebih diperluas lagi.
Tingkat keabstrakan
Sifat abstrak objek matematika tersebut tetap ada pada matematika sekolah. Hal itu merupakan salah satu penyebab sulitnya seorang guru mengajarkan matematika sekolah. Seorang guru matematika harus berusaha mengurangi sifat abstrak dari objek matematika itu sehingga memudahkan siswa menangkap pelajaran matematika disekolah.
Dalam menyajikan teorema Pythagoras misalnya, tidak langsung disajikan teoremanya. Diawali dengan peraga luasan segitiga yang memenuhi ukuran sesuai bilangan Pythagoras. Baru kemudian disajikan teoremanya serta bukti yang lebih abstrak.
Fungsi dan Tujuan Pendidikan Matematika
Matematika sekolah berfungsi mengembangkan kemampuan menghitung, mengukur, menurunkan dan menggunakan rumus matematika yang diperlukan dalam kehidupan sehari-hari diantaranya melalui materi pengukuran dan geometri, aljabar dan trigonometri. Matematika juga berfungsi mengembangkan kemampuan mengkomunikasi gagasan dengan bahasa melalui model matematika yang dapat berupa kalimat dan persamaan matematika, diagram, grafik atau tabel.
Tujuan pembelajaran matematika yang dituntut dalam kurikulum berbasis kompetensi (KBK) adalah :
- Melatih cara berpikir dan bernalar dalam menarik kesimpulan, misalnya melalui kegiatan penyelidikan, eksplorasi, eksperimen, menunjukkan kesamaan, perbedaan, konsisten dan inkonsistensi
- Mengembangkan aktivitas kreatif yang melibatkan imajinasi, intuisi dan penemuan dengan mengembangkan pemikiran diverger, orisinal, rasa ingin tahu, membuat prediksi dan dugaan, serta mencoba-coba.
- Mengembangkan kemampuan pemecahan masalah
- Mengembangkan gagasan antara lain melalui pembicara lisan, catatan, grafik, peta, diagram, dan menjelaskan gagasan.
Kecakapan dan kemahiran matematika yang diharapkan dapat tecapai dalam belajar matematika adalah :
- Menunjukkan pemahaman konsep matematika yang dipelajari, menjelaskan keterkaitan antara konsep dan mengaplikasikan konsep atau logaritma secara luwes, akurat, efisiensi, dan tepat dalam pemecahan masalah.
- Memiliki kemampuan mengkomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, grafik atau diagram untuk mempelajari keadaan atau masalah
- Menggunakan penalaran pada pola, sifat atau melakukan manipulasi matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti, atau menjelaskan gagasan dan pernyataan matematika
- Menunjukkan kemampuan strategik dalam membuat (merumuskan), menafsirkan dan menyelesaikan model matematika dalam pemecahan masalah
- Memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan
BAB III
TEORI-TEORI PERKEMBANGAN KOGNITIF DAN PROSES PEMBELAJARAN YANG RELEVAN UNTUK PEMBELAJARAN MATEMATIKA
- TEORI PIAGET
Jean Piaget mengemukakan dalam teorinya bahwa kemampuan kognitif manusia berkembang menurut empat tahap, dari lahir sampai dewasa. Keempat tahap tersebut adalah sebagai berikut :
Tahap sensori-motor (sensory-motor stage)
Berlangsung sejak manusia lahir sampai berusia sekitar 2 tahun. Pada tahap ini pemahaman anak mengenai berbagai hal pertama bergantung pada kegiatan (gerakan) tubuh beserta alat-alat indra.
Contoh : Pada tahap ini anak tahu bahwa didekatnya ada sesuatu barang mainan kalau ia menyentuh barang itu.
Tahap pra-operasional (pre-operational period)
Berlangsung dari kira-kira 2 tahun sampai 7 tahun. Pada tahap ini anak sudah menggunakan pemikirannya dalam berbagai hal. Akan tetapi pemahamannya mengenai berbagai hal masih terpusat pada dirinya sendiri. Dengan kata lain. Pada tahap ini anak belum bisa berpikir secara objektif, lepas dari dirinya sendiri.
Tahap operasi konkret (concrete-operational stage)
Berlangsung kira-kira dari usia 7 sampai 12 tahun. Pada tahap ini anak sudah bisa memahami bahwa orang lain mungkin memiliki pikiran atau perasaan yang berbeda dari dirinya. Dengan kata lain anak sudah bisa berpikir secara objektif. Pada tahap ini anak juga sudah bisa berpikir logis tentang berbagai hal, termasuk hal-hal yang agak rumit tetapi dengan syarat bahwa hal-hal tersebut disajikan secara konkret.
Tahap operasi formal (formal-operational stage)
Berlangsung sejak kira-kira usia 12 tahun keatas. Pada tahap ini, anak atau orang sudah mampu berpikir secara logis tanpa kehadiran benda-benda konkret, dengan kata lain, sudah mampu melakukan abstraksi (mampu berpikir tentang hal-hal yang abstrak)
Teori Piaget menjelaskan pula bahwa perkembangan kemampuan intelektual manusia terjadi karena adanya berbagai faktor yang mempengaruhi yaitu :
Kematangan (maturation)
Yaitu pertumbuhan otak dan system syaraf manusia, karena bertambahnya usia dari lahir sampai dewasa
Pengalaman (experience), yang terdiri atas:
a) Pengalaman fisik (physical experience), yaitu interaksi manusia dengan objek-objek dilingkungannya
b) Pengalaman logika-matematika (logico-mathematical experience), yaitu kegiatan-kegiatan pikiran yang dilakukan oleh manusia yang bersangkutan.
Transmisi sosial (social transmission),
Yaitu interaksi dan kerjasama yang dilakukan oleh manusia dengan orang lain.
Penyetimbangan (equilibration)
Yaitu proses dimana struktur mental manusia kehilangan kesetimbangan sebagai akibat dari adanya pengalaman-pengalaman atau pembelajaran-pembelajaran baru melalui proses asimilasi dan akumulasi.
- TEORI GAGNE
Robert M. Gagne dalam teorinya mengemukakan suatu klasifikasi dari objek-objek yang dipelajari di dalam matematika.
Objek-objek pembelajaran matematika
a) Fakta-fakta matematika adalah konvensi-konvensi dalam matematika yang dimaksudkan untuk memperlancar pembicaraan-pembicaraan di dalam matematika, seperti lambang-lambang yang ada di dalam matematika, semufakatan bahwa pada garis bilangan yang horisontal, arah ke kanan menunjukkan bilangan-bilangan yang semakin besar sedangkan arah kekiri menunjukkan bilangan-bilangan yang semakin kecil
b) Keterampilan-keterampilan matematika adalah operasi-operasi dan prosedur-prosedur dalam matematika, yang masing-masing merupakan suatu proses untuk mencari (memperoleh) sesuatu hasil tertentu contoh. Keterampilan matematika adalah proses mencari jumlah dua bilangan, proses mencari akar suatu persamaan dan sebagainya.
c) Konsep-konsep matematika adalah suatu ide abstrak yang memungkinkan orang untuk mengklasifikasikan apakah sesuatu objek tertentu merupakan contoh atau bukan contoh dari ide abstrak. Suatu konsep yang berada dalam lingkup ilmu matematika disebut konsep matematika, segitiga, persamaan, bilangan cacah dan lain sebagainya.
d) Prinsip-prinsip matematika adalah suatu pernyataan yang bernilai benar, yang memuat dua konsep atau lebih dan menyatakan hubungan antar konsep-konsep tersebut.
Fase-fase kegiatan belajar
- Fase aprerhensi (apprehension phase). Pada fase in siswa menyadari adanya stimulus yang terkait dengan kegiatan belajar yang akan ia lakukan dalam pelajaran matematika, stimulus tersebut bisa berupa matematika pelajaran yang tercetak pada halaman sebuah buku, sebuah soal yang diberikan oleh guru sebagai pekerjaan rumah dan lain sebagainya.
- Fase akuisisi (acquisition phase) pada fase ini siswa melakukan akuisisi (pemerolehan, penyerapan atau internalisasi) terhadap berbagai fakta, keterampilan, konsep atau pirnsip yang menjadi sasaran dari kegiatan belajar tersebut
- Fase penyimpanan (storange phase). Pada fase ini siswa menyimpan hasil-hasil kegiatan belajar yang telah ia peroleh dalam ingatan jangka pendek (short-term memory) dan ingatan jangka panjang (long-term memory)
- Fase pemanggilan (retrieval phase). Pada fase ini siswa berusaha memanggil kembali hasil-hasil dari kegiatan belajar yang telah ai peroleh dan telah disimpan dalam ingatan, baik itu yang menyangkut fakta, keterampilan, konsep maupun prinsip.
Jenis-jenis belajar (tipe-tipe belajar)
a) Belajar isyarat (signal learning) adalah kegiatan belajar yang terjadi secara tidak disadari, sebagai akibat dari adanya suatu stimulus tertentu. Sebagai contoh, jika seseorang siswa mendapat kometar bernada positif dari guru matematika secara tidak disadari siswa itu akan cenderung menyukai pelajaran matematika.
b) Belajar stimulus respons (stimulus-respons learning) adalah kegiatan belajar yang terjadi secara disadari, yang berupa dilakukannya sesuatu kegiatan fisik sebagai sesuatu reaksi (respons) atas adanya sesuatu stimulus tertentu.
c) Rangkaian gerakan (chaining) merupakan kegiatan yang terdiri atas dua gerakan fisik atau lebih yang dirangkai menjadi satu secara berurutan, dalam upaya untuk mencapai sesuatu tujuan tertentu.
d) Rangkaian verbal (verbal association) merupakan kegiatan merangkai kata-kata atau kalimat-kalimat secara bermakna, termasuk menghubungkan kata-kata dengan objek tertentu.
e) Belajar membedakan (discrimination learning) merupakan kegiatan mengamati perbedaan antara sesuatu objek yang satu dengan sesuatu objek yang lain.
f) Belajar konsep (concept learning) adalah kegiatan mengenali sifat yang sama yang terdapat pada berbagai objek atau peristiwa dan kemudian memperlakukan objek-objek atau peristiwa-peristiwa itu sebagai suatu kelas, disebabkan oleh adanya sifat yang sama tersebut
g) Belajar aturan (rule learning) aturan adalah suatu pernyataan yang memberikan petunjuk kepada manusia bagaimana harus bertindak dalam menghadapi situasi-situasi tertentu. Belajar aturan adalah kegiatan memahami pernyataan-pernyataan semacam itu sekaligus menggunakannya pada situasi tertentu yang sesuai.
h) Pemecahan masalah (problem solving), merupakan kegiatan belajar yang paling kompleks. Sesuatu soal dikatakan sebagai masalah bagi seseorang apabila orang itu memahami soal tersebut tetapi orang itu belum mendapatkan sesuatu cara yang dapat memecahkan soal itu.
- TEORI BRUNER
Jerome Bruner mengemukakan belajar merupakan suatu proses aktif yang memungkinkan manusia untuk menemukan hal-hal baru diluar (melebihi) informasi yang diberikan kepada dirinya. Ada dua bagian yang penting dari teori Bruner yaitu :
Tahap-tahap dalam proses belajar
a) Tahap enaktif yaitu suatu tahap pembelajaran sesuatu pengetahuan dimana pengetahuan itu dipelajari secara aktif, dengan menggunakan benda-benda konkret atau menggunakan situasi yang nyata
b) Tahap ikonik yaitu suatu tahap pembelajaran sesuatu pengetahuan dimana pengetahuan itu direpresentasikan dalam bentuk visual (visual imagery), gambar atau diagram, yang menggambarkan kegiatan konkret atau situasi konkret yang terdapat pada tahap enaktif tersebut di atas (butir a).
c) Tahap simbolik yaitu suatu tahap pembelajaran di mana pengetahuan itu dipresentasikan dalam bentuk simbol-simbol abstrak, yaitu simbol-simbol arbiter yang dipakai berdasarkan kesepakatan orang-orang dalam bidang yang bersangkutan, baik simbol-simbol verbal (misalnya huruf-huruf kata-kata, kalimat-kalimat)
Teorema tentang cara belajar dan mengajar matematika
a) Tahan konstruksi (contruction theorem) di dalam teorema ini dikatakan bahwa cara yang terbaik bagi seorang siswa untuk mempelajari sesuatu konsep atau sesuatu prinsip dalam matematika adalah dengan mengkonstruksikan sebuah representasi dari konsep atau prinsip tersebut, seperti yang diuraikan pada penjelasan tentang modus-modus representasi, akan lebih baik jika para siswa mula-mula menggunakan representasi konkret yang memungkinkan siswa untuk aktif, tidak hanya aktif secara intelektual (mental) tetapi secara fisik.
b) Teorema Notasi (notation theorema) menurut apa yang dikatakan dalam teorema notasi, representasi dari sesuatu materi matematika akan lebih mudah dipahami oleh siswa apabila di dalam representasi itu digunakan notasi yang sesuai dengan tingkat perkembangan kognitif siswa.
c) Teorema kekontrasan dan variasi (contrast and variation theorem) di kemukakan bahwa sesuatu konsep matematika akan lebih mudah dipahami oleh siswa apabila konsep itu dikotraskan dengan konsep-konsep yang lain, sehingga perbedaan antara konsep itu dengan konsep-konsep yang lain jelas
d) Teorema konektivitas (connectivity theorem) di dalam teorema ini disebut bahwa setiap konsep, setiap prinsip dan setiap keterampilan dalam matematika berhubungan dengan konsep-konsep, prinsip-prinsip dan keterampilan-keterampilan yang lain.
Pendekatan spiral dalam pembelajaran matematika
Disebabkan oleh adanya peningkatan taraf kemampuan berpikir para siswa sesuai dengan perkembangan kedewasaaan atau kematangan mereka, Bruner menganjurkan digunakannya pendekatan spiral dalam pembelajaran matematika maksudnya sesuatu materi matematika tertentu seringkali perlu diajarkan beberapa kali pada siswa yang sama selama kurun waktu ssiwa tersebut berada di sekolah, tetapi dari saat pembelajaran yang satu ke saat pembelajaran berikutnya terjadi peningkatan dalam tingkat keabstrakan dan kompleksitas dan materi yang dipelajari termasuk peningkatan dalam keformalan sistem notasi yang digunakan.
- TEORI AUSUBEL
David P. Ausubel berpendapat bahwa metode ceramah merupakan metode pembelajaran yang sangat efektif apabila dipakai secara tepat. Ausubel membedakan antara kegiatan belajar yang bermakna yaitu (kegiatan belajar dengan pemahaman) dan kegiatan belajar yang tak bermakna yaitu kegiatan belajar tanpa pemahaman, dimana siswa hanya menghafal apa yang diajarkan guru tanpa memahami makna atau isi dari yang dihafalkan.
Ausubel mengemukakan dua prinsip penting yang perlu di perhatikan dalam penyajian materi pembelajaran bagi siswa, yaitu :
- Prinsip diferensiasi progresif (progressive differentiation principle), yang menyatakan bahwa dalam penyajian materi bagi siswa, materi informasi, atau gagasan yang bersifat paling umum atau paling inklusif harus disajikan terlebih dahulu, dan baru sesudah itu disajikan materi, informasi atau gagasan yang lebih terdiferensiasi atau lebih detail
- Prinsip rekonsiliasi integrative (integrative recontiliation principle) yang menyatakan bahwa materi atau informasi yang baru dipelajari perlu direkonsiliasikan dan diintegrasikan dengan materi atau informasi yang sudah lebih dulu dipelajari pada bidang keilmuan yang bersangkutan.
- TEORI VAN HIELE
Dalam teori yang mereka kemukakan, mereka berpendapat bahwa dalam mempelajari geometri, para siswa mengalami perkembangan kemampuan berpikir dengan melalui tingkat-tingkat sebagai berikut :
Tingkat visualisasi
Tingkat ini disebut juga tingkat pengenalan. Pada tingkat ini siswa hanya memandang sesuatu bangun geometri sebagai suatu keseluruhan belum memperhatikan komponen-komponen dari masing-masing bangun.
Contoh : Pada tingkat ini siswa tahu sesuatu bangun bernama persegi panjang, tetapi ia belum mengetahui ciri-ciri dari bangun yang bernama persegi panjang.
Tingkat analisis
Tingkat ini disebut juga tingkat deskriptif, pada tingkat ini siswa sudah mengenal bangun-bangun geometri berdasarkan ciri-ciri masing-masing bangun
Contoh : Pada tingkat ini siswa sudah bisa mengatakan bahwa sesuatu bangun merupakan persegi panjang karena bangun itu mempunyai empat sisi, sisi-sisi yang berhadapan sejajar dan semua sudutnya siku-siku
Tingkat abstraksi
Tingkat ini disebut juga tingkat pengurutan. Pada tingkat ini siswa sudah bisa memahami hubungan antara ciri yang satu dengan ciri yang lain pada sesuatu bangun.
Contoh : Pada tingkat ini siswa sudah bisa mengatakan bahwa jika pada suatu segiempat sisi-sisi yang berhadapan sejajar, maka sisi-sisi yang berhadapan itu juga sama panjang.
Tingkat deduksi formal
Pada tingkat ini siswa sudah bisa memahami peranan pengertian-pengertian pangkal, definisi-definisi aksioma-aksioma, dan teorema-teorema pada geometri. Juga, pada tingkat ini sisa sudah mulai mampu menyusun bukti-bukti secara formal.
Tingkat Rigor
Tingkat ini disebut juga tingkat matematis pada tingkat ini, siswa mampu melakukan penalaran sitem-sistem matematika (termasuk sistem-sistem geometri), tanpa membutuhkan model-model yang konkret sebagai acuan. Pada tingkat ini, siswa memahami ini dimungkinkan adanya lebih dari satu adanya geometri.
Contoh : Pada tingkat ini siswa menyadari bahwa jika, salah satu aksioma pada suatu sistem geometri diubah, makna seluruh geometri tersebut juga akan berubah.
- TEORI VYGOTSKY
Seorang psikologi Rusia, yaitu Lev Vygotsky, mengkritik pendapat Piaget yang menyatakan bahwa faktor utama yang mendorong perkembangan kognitif seseorang adalah motivasi atau daya dari dalam si individu itu sendiri untuk mau belajar dan berinteraksi dengan lingkungan. Vygotsky justru berpendapat bahwa interaksi sosial merupakan faktor yang terpenting yang mendorong atau memicu perkembangan kognitif seseorang.
Contoh : Seorang anak belajar berbicara sebagai akibat dari interaksi anak itu dengan orang-orang sekelilingnya, terutama orang yang sudah dewasa.
