Ide-Ide Kunci

Lebih jauh, “angka”, kita hanya mempunyai arti yang natural di bagian 11 dan 12, kita akan memperluas ide kita tentang angka yang diambil dari lebih 4 sistem bilangan: bilangan pecahan, integral, bilangan rasional, dan bilangan rill. Ide dua kunci untuk memajhami konsep dari ekuivalen dan model matematika. Konsep ini tidak penting, tetapi dibatasi oleh sistem bilangan. Seperti konsep tentang himpunan, konsep ini juga merupakan hal yang mendasar.

Kesamaan dan Kesebangunan

Ini adalah salah satu dari konsep yang membantu membentuk hubungan antara fungsi intelegensi sehari-hari dan matematika, dan hal itu akan membar,tu dimulai dengan contoh sehari-hari sebelum mendefenisikannya ke dalam bentuk matematika.

Kata “ekuivalen” mempunyai arti “sama”, seperti, sama utituk tujuan yang khusus, atau keterangan-keterangan yang lain. Jika terdapat sebuah himpunan dari suatu objek, kita dapat membagi himpunan ini ke dalam beberapa sub himpunan berdasarkan kesamaannya. Sebagai contoh, koin di dalam kantong saya, dapat dibagi ke dalam sub himpunan berdasarkan kesamaan nilai uangnya. Pot yang dilukis di toko tertentu dapat dibagi ke dalam sub himpunan yang berwarna sama. Novel di perpustakaan lokal dapat dibagi ke dalam sub himpunan berdasarkan kesamaan pengarang. Metode untuk membagi/memisahkan ke dalam sub-sub himpunan tidak akan cukup bila tidak ada objek di himpunan awal yang tidak dimiliki oleh salah satu sub himpunan. Dan terjadi ambiguitas jika objek apapun dapat diberikan kepada lebih dari satu sub himpunan. Jadi, kita katakan bahwa setiap objek dalam himpunan harus memiliki satu dan hanya satu sub himpunan. Himpunan dari sub-sub himpunan ini disebut partisi dari himpunan awal. Pemisahan dari anggota-anggota himpunan awal ke dalam himpunan bagian dapat dilakukan dengan dua cara. Kita dapat memulai dengan beberapa sifat-sifat yang karakteristik, dan format dari himpunan bagian berdasarkan hal ini. Perhatikan bahwa karakteristik/sifat mereka selalu tergolong bersama. Mereka membentuk sebuah himpunan yang mudah untuk dilihat sifat karakteristiknya. Seperti di contoh pertama, setiap karakteristik adalah nilai moneter, di contoh kedua, setiap karakteristik adalah warna dan yang ketiga adalah pengarang. Tidak perlu untuk seperti itu. Jika kita berdiri di atas trotoat di London, dan bergegas untuk ke stasiun, kemudian kita bisa membagi secara sederhana ke dalam himpunan bagian (taxi) dan (yang lainnya). Tetapi contoh-contoh untuk pemisahan yang selalu lebih menarik, sejak dibentuk dasar dari konsep baru.

Secara altematif, kita dapat rnemulai dengan prosedur berdasarkan – keterangan-keterangan yang sesuai dan memisahkan himpunan dengan menempatkan sernua objek yang sesuai ke dalam himpunan bagian yang sama. Sebagai contoh, seorang naturalis mungkin memisahkan (kupu-kupu yang tertangkap di negara tertentu) dengan memasangkan jenisnya dengan melihat kesamaan warna dan corak sayap. Setiap himpunan bagian dari kupu-kupu, dia akan memperhatikan spesies yang berbeda, dan memberikannya nama yang berbeda. Metode ini selalu digunakan ketika menemukan objek baru.

Prosedur memasangkan/penyespaian dari contoh-contoh tersebut, jika exact, namakan “hubungan ekuivalensi”. Ketepatan kebutuhan dapat dicapai dalam dunia konsep matematika, tapi tidak semudah di dunia fisik/nyata. Andaikan sebuah contoh, kita memisahkan corak/belang kayu dengan memasangkan mereka berdasarkan panjangnya. Kita bisa memutuskan bahwa corak A dan B mempunyai panjang yang sama jika panjang keduanya hanya berbeda 5 mm, dan persamaan antara B dan C, C dan D, dan sebagainya. Tetapi hal itu tetap mungkin untuk papan A (Ian J untuk membedakan panjang scpanjang 45 mm. Jadi, pasangan “kira-kira sama panjang dengan” tidak transitif.

Di lain pihak pasangan antara dua himpunan ” korespondensi satu-satu” adalah tepat, dan dapat menjadi hubungan equivalensi. Kembali ke masalah batang kayu, jika kita mengukur panjang batang ke 5 mm terdekat, dan memasangkan batang tidak secara nyata, tapi berdasarkan perhitungan ini, dapat dilihat bahwa sifat transitif itu memuaskan, dan kita sekarang mempunyai hubungan ekuivalensi yang lain.

Dalam penambahan ke sifat transitif, hubungan ekuivalensi mempunyai dua sifat yang akan dibahas lebih lanjut. Untuk pembaca yang tertarik, akan diberikan laporan di lampiran bagian ini.

Hal yang penting dari sifat transitif adalah bahwa apapun dua anggota­anggota dari himpunan bagian yang sama di dalam partisi adalah berhubungan dengan ekuivalensi. Dan ini benar ketika pemisahan dilakukan melalui metode pertama ataupun metode kedua. Jika melaui metode kedua, itu akan diikuti langsung dari sifat transitif. Jika melalui metode kedua, kita selalu dapat menemukan hubungan ekuivalensi antara dua anggota-anggota dari himpunan bagian. Sebagai contoh:

Karena keeratan hubungan dengan hubungan ekuivalensi, himpunan bagian yang memiliki_. partisi itu disebut kelas ekuivalen. Ringkasnya, apapun hubungan ekuivalensinya yang dapat dipakai untuk semua elemen yang ada pads himpunan, partisi himpunan dimasukkan ke dalam kelas ekuivalen. Dan apapun partisi dari himpunan tersebut dapat dipakai untuk mendefinisikan hubungan ekuivalen.

Prinsip Kemampuan Saling Mengganti

Implikasi dari konsep ekuivalen adalah kemampuan saling mengganti untuk tujuan tertentu. Untuk membayar ongkos pips, semua koin di dalam himpunan bagian 5p bisa saling mengganti. Untuk mewarnai kapal dengan warna biru, semua himpunan bagian yang berwarna biru bisa saling mengganti. Seseorang yang mencari buku di perpustakaan yang mencari buku H. G. Wells, tidak ada masalah, ada himpunan bagian H.G. wells yang bisa dipilih. Ekuivalensi ini hanya respek terhadap sifat-sifat tertentu, karakteristik dari kelas ekuivalen. Jadi di dalam kelas, kita dapat jika kita memilih anggota tertentu karena kegunaannya di beberapa hal yang lain. Di dalam kelas ekuivalen dari koin yang mempunyai nilai yang sama, seorang kolektor bisa memilih koin untuk kondisi yang terbentuk. Didalam kelas ekuivalen dari warna biru, saya akan memilih satu yang mempunyai ketahanan yang baik terhadap matahari dan air garam. Pembaca novel H.G. Wells mungkin akan lebih memilih novel yang belum mereka baca.

Lebih lanjut, konsekuensi dari prinsip saling mengganti ini adalah memberikan kita cara lain untuk penamaan kelas ekuivalensi. Cara yang lebih konkrit adalah menggunakan sembarang anggota dari kelas yang sesuai secara. sederhana. Kadang-kadang lebih sesuai, tapi kita kemudian harus menjelaskan ketika kita terhubung dengan kelas yaag sesuai, atau dari elemen itu sendiri. Kesesuaian, tentu saja tidak mendefenisikan kelas, sehingga kita juga harus tahu juga kapan digunakan hubungan ekuival,-n. Jadi metode penamaan kelas yang sesuai bekerja dengan baik ketika kita, telah menetapkan konteks dan menggunakannya sesuaii arti yang diinginkan.

Ekuivalen dan Kesamaan

Untuk mengatakan bahwa dua objek itu ekuivalen berarti mereka sama dalam, beberapa karakteristik, yang jika tidak nyata dari konteksnya, haruslah mempunyai spesitikasi. Untuk mengatakan bahwa mereka sama berarti bahwa mereka sama dalam setiap atau semua karakteristik. Hal ini dapat terjadi hanya jika pada kenyataannya mereka adalah objek yang sama. Dan sejak sebuah objek hanya dapat sama dengan dirinya, kita bisa mengubah penyataan sama menjadi trivial. Hal ini tidak penting dalam kasus ini.

This rolls royce = This rolls royce     trivial

This rolls royce = my car                  tidak

Pernyataan kesamaan menunjukkan pada kita bahwa kita menghubungkan objek yang sama (baik secara fisik maupun secara, konsep) ke dalam 2 cara yang berbeda. Perhatikan juga bahwa pernyataan

“This rolls royce = my car” tidak dapat dibenarkan, sejak tanda persamaan berarti bahwa kita, menghubungkan kata-katanya, bukan objeknya. Jadi,

Tiga = 3           benar, tetapi

`tiga’ = ‘3’        salah

Akan tetapi, meskipun kita mendefenisikan kelas ekuivalen melalui karakteristiknya yang semuanya merupakan nama dari bilangan yang sama, kemudian digunakan tanda = yang berarti ekuivalen dengan.

ⁱtiga’=—’3′       adalah benar

Jika 2 objek ekuivalen, kemudian sifat-sifat kelasnya sama, sebagai contoh buku the war of the worlds dan the time machine adalah ekuivalen berdasarkan, hubungan yang telah didefenisikan sebelumnya, pengarangnya adalah orang yang sama. Jika 2 koin ekuivalen dalam nilainya, maka koin yang satu akan sama dengan koin yang lainnya. Jika 2 objek ekuivalen, seperti yang didefinisikan melalui hubungan yang seimbang ketika diletakkan di skala yang berbeda, beratnya juga akan sama. Jadi, jika kita kadang-kadang berdasarkan objek itu sendiri, dan kadang-kadang sesuai dengan kelas ekuivalennya, di konteks pertama mereka dapat ekuivalen jika  pada bagian kedua mereka sama. Ini kelihatan membingungkan, tapi sekali konsep diserap, hal itu mempunyai efek terbalik, hal itu membantu untuk membuat pernyataan yang membingungkan.

Cara Kedua Melihat Bilangan Asli

Merupakan konsep lebih lanjut dari aplikasi umum, baik kejadian setiap hari maupun secara matematis. Kita dalam kenyataannya selalu menggunakannya, ketika kita mengembangkan konsep tentang bilangan asli. Disini, himpunan awal merupakan himpunan semua himpunan. Hubungan ekuivalen “merupakan korespondensi satu-satu dengan” membagi himpunan ini ke dalam kelas-kelas ekuivalen, dan sifat karakteristik dari kelas ini adalah bilangan asli. Dua kalimat merupakan kesimpulan dari apa yang kita bicarakan pads bab 8. dan itu akan berguna jika dibicarakan kembali dan membandingkan 2 gagasan. Ketika konsep ini telah dimengerti dengan baik, dapat dilihat bahwa penjelasan kedua betel-betel mengatakan bahwa semua itu penting. Contoh yang baik dari penyingkatan pemikiran matematis. Sebagai penjelasan awal, penjelasan kedua merupakan sesuatu yang sulit dipahami semua orang, tetapi sebaga^; cars pengabdian inti dari mated, itu sangat efektif.

Model Matematis

Tujuan yang kita rencanakan, katakanlah dapur. Itu membantu membuat skala perencanaan dari ruangan itu sendiri, dan juga untuk menggambarkan bagian-bagian Yang terpisah dari furniture yang kita maksudkan untuk diruangan, dan menghilangkan yang lainnya. Kita kemudian dapat mencoba posisi yang bervariasi nantinya, dan mengamati hasil keduanya untuk kenyamanan ruangan dan kesesuaian ruangan. Kita telah meringkas dari objek fisik yang kita inginkan kedalam tujuan tertentu, dalam kasus ini ukuran keseluruhan dan bentuk seperti yang dilihat diatas dan juga dengan fungsinya (penanak nasi, kulkas, meja, d11). Sementara mengabaikan kualifikasi lain seperti warna, harga, pembuat ringkasan kualifikasi tersebut telah digambarkan didalam format model dikertas. Model ini menambahkan bagian lain yang penting dari objek di dapur yang dapat kita pindahkan. Selanjutnya, ketika kita sampai pada penyusunan model di mana semua items akan diletakkan ditempat yang berbeda, kita tau bahwa korespondensi objek secara umum, penanak nasi, kulkas, dll, akan di simpan ditempat yang berbeda didapur. Ini adalah model pekerjaan.

Model dapur kita adalah model fisik, dibuat untuk tujuan yang teipisah. Tetapi sistem bilangan asli adalah model mental, dari kemampuan hebat yang beraneka ragam. Tapi hal itu menggunakan metode yang sama, peringkasan, manipulasi ringkas sebagai pengganti dari manipulasi objek fisik, dan penambahan kembali hasil dari situasi ini dari ringkasan yang dibuat. Di kehidupan sehari-hari, kita melakukan ini secara biasa. Kita mungkin menerima kunjungan teman “kami berempat, dan akan bertambah menjadi 2 dan 3 anak”. Pads ringkasan pertama yang dibicarakan di atas, menggunakan konsep, yang utama/dasar. Untuk tujuan yang berbeda, katakanlah menempatkan meja, kita tidak melihat pada umur, jenis kelamin, atau siapa yang tinggal atau datang. Jadi selanjutnya kita singkat menjadi 4, 2, 3. pada saat minum teh, kita memusatkan pada aspek kombinasi dan memperlihatkannya dengan operasi penjumlahan matematis = 4 + 2 + 3 = 9. penambahan kembali yang pertama: akan ads 9 orang. Berdasarkan ini kita memasangkan banyaknya orang dengan banyaknya tempat, yang berarti, kita menempatkan 9 tempat di meja.

Kemampuan untuk berpikir cara ini dibolehkan. Tapi cara ini tidak berkembang pada orang-orang yang prim itif-penj claj ab berhubungan dengan yang setuju pada harga untuk seekor biri-biri. Istilahnya pertukaran benda, dengan pembicara, dan setuju bahwa dua biri-biri dapat dibeli dengan yang itu juga, penjual tidak menerima 2 barang dan menemukan 2 biri-biri. Biri-biri pertama ditukarkan dengan barang yang diinginkan, dan prosedurnya kemudian diulang. Meskipun, penjual telah memiliki konsep bilangan, dia tidak bisa memanipulasi kejadian tersebut ke dalam bentuk matematis.Perdagangan di skala apapun jelasnya bergantung pada kemampuan ini. Transaksi individu mungkin akan dilakukan seperti di atas, tetapi perdagangan yang terorganisasi membutuhkan nilai, dan lebih mengembangkan model manipulasi yang banyak dibantu oleh notasi Hindu-Arab, yang telah dijelaskan.

Pengukuran

Satu dari hal yang paling mendesak tentang sistem bilangan asli adalah situasi model disediakan yang bervariasi. Ini sebagian karena bilangan pada himpunan tidakbergantung pada apa yang ada di himpunan, atau di mana objek itu. Jadi bilangan yang sama dapat digunakan sebagai model bagi orang-orang, cangkir teh, biri-biri, barang perdagangan, sel darah merah (dalam perhitungan darah), kata-kata (dalam buku), atau objek yang lainnya.

Akan tetapi, ada situasi tertentu untuk bilangan yang sendiri tidak memada;. Kita tidak bisa menghitung jumlah susu dalam botol, atau panjang jalan, atau nilai mobil, atau panas dalam oven. Tapi dengan mengkombinasikan bilangan asli dengan pengukuran, kita dapat menyampaikan bersama kegunaannya dengan 2 cars yang berbeda. Kita dapat menggunakannya untuk jumlah sambungan, sebaik untuk objek yang berlainan. Dan dengan mengubah pilihan -unit, kita dapat membuat model untuk volume, panjang, nilai, temperatur, berat, massa, luas, waktu, kecepatan, potensial listrik, aliran listrik, energi, frekuensi – yang disebutkan dapat disambung 2 atau 3 kali.

Prinsip dasar melibatkan pengukuran, tentu saja mendekatkan kita pada perhitungan. Kasarnya, kita memutuskan pada volume tertentu, berat, panjang dan lain-lain. Dan menyebut ini sebagai bagian dari volume, berat dan lain-lain. Kita kemudian menemukan bagaimana unit-unit ini harus diletakkan bersama untuk menjadi sama dengan baerat (ccntoh) dari objek yang kita inginkan. Selanjutnya, kita memperbaiki pertanyaan “berapa banyak?” dalam konteks berat, menjadi “berapa banyak bagian berat?”. Jawabannya disebut pengukuran berat objek. Hanya ”memotong” adalah teknik dalam menemukan bilangan himpunan. Jadi pengukuran adalah teknik untuk menemukan ukuran dari beberapa objek yang terpisah; seperti  volume, panjang, temperatur.

Dalam perhitungan dan pengukuran, aktivitas fisik seperti juga aktivitas matematis dibutuhkan. Dengan perhitungan aktivitas fisik selalu mudah dan sederhana, seperti penomoran atau hanya memeriksa objek yang dihitung; minimal

bilangan besar, atau objek yang dihitung adalah yang terjadi (contoh menghitung re-volusi mesin). Untuk pengukuran kita selalu membutuhkan pertolongan fisik, seperti: keseimbangan, aturan, pengukuran zat cair, termometer. Sisi fisik dari ak-tivitas bisa berterus terang, atau remit dais alat yang wajib. Ini menjadi problem – selanjutnya beat pars ilmuwan dan pembuat instrumen/alat ukur. Disini kita akan mengetengahkan perhatian kita pada hubungan antara objek fisik, pengukuran aktivitas fisik matematis, dan hasil matematis dari aktivitas ini. Dan seperti dengan perhitungan, kita bisa berharap mendapatkan hasil dengan pengukuran, yang lebih  dari pada saling bertemu. mata

Berat

Meskipun hanya ada 1 macam perhitungan, ada banyak macam pengukuran. Dari contoh yang gampang sampai pemisahan yang tinggi, kita akan mulai dari^­bMikir tentang berat.

Berat dan massa, paling tidak tentu Baja adalah hal yang sama. Berat adalah kekuatan — atraksi bersama antara bumf dan objek. Massa adalah salah sate cara untuk mendeskrirsikan jumlah mated dalam tubuh. Jadi jika tubuh dibawa ke bulan, maka berat akan berkurang tar)i massanya tetap. Ketika kita mengukur berat sesuatu, itu dilakukan karena pada kenyataannya kita ingin tau beratnya; tapi sebenarnya kita ingin tau massanya. Berat adalah cara tertentu dari pengukuran massa, karena tubuh sama dengan massa, pada tempat yang sama juga mempunyai berat yang sama. Jadi untuk sekarang, tidak apa-apa meskipun massa tubuh, atau berat tubuh, yang kita inginkan. Sepanjang skala, atau keseimbangan, itu adalah alat dimana kita bisa membandingkan berat dari 2 tubuh.

Jadi kita bisa memilih objek sebarang yang kita suka untuk massa standar kita (massa standar intemasional) adalah kg, ditemukan oleh Bureau International Des poids Et Mesures, (di dekat Paris) dan dengan memasangkan persiapan proses sekumpulan objek (katakanlah batang besi) semuariva mempunyai berat. yang sama. Ini disebut “kilogram berat”, tetapi mengingat bahwa berat  adalah kekuatan, sebagai contoh batang besi, maka kita akan menyebutnya “kilogram objek”.

Kita dapat mengkombinasikan berat dari beberapa kg objek dengan menempatkannya pada skala yang sama. Jika skala-skala tepat seimbang dengan sekantung terigu di satu tempat, dan katakanlah 5 kg di tempat lain, jadi kita mengatakan bahwa berat sekantung terigu adalah 5 kg. Untuk selanjutnya dengan .netode ini, kita juga dapat menyiapkan sekumpulan objek standar yang diukur mulai dari 1 kg, 2 kg, 4 kg, dst. Jika skala sekarang seimbang dengan sebungkus kentang di satu tempat, dan 2 kg dan 4 kg objek di tempat lain, kita mengatakan bahwa berat sebungkus kentang = 6 kg. Implikasi dari ini adalah asumsi yang ditambahkan unit-unit ini merupakan model sebenarnya untuk mengkombinasikan kekuatan gravitasi. Kejadian ini benar, tetapi tidak dapat diterima. 1 liter air pada temperatur 10°c, dikombinasikar. dengan air pada temperatur 40 °c, menghasilkan 2 liter air, tapi ticlak bertemperatur 50°c. Perjalanan sepanjang 10 km yang ditempuh dengan kecepatan 60′ km/jam, menghasiikan panjang 15 km, tetapi tidak ditempuh dengan kecepatan 100km/jam. Ini mengingatkan kita bahwa dalam kasus yang lebih kompleks, dimana kita tidak hanya menambah tetapi juga mengalihkan, mernfaktorkan, menyelesaikan persamaan, dan rfianipulasi model matematika di cars yang lebih kompleks, kita tidak boleh membabi buta.

Tiga Bidang Pemikiran

Mari kita menyimpulkan bab ini dengan membedakan 3 macam, pemikiran, dan cara mereka, berkorespondensi.

Pemikiran 1 : Objek fisik, event, atau pengamatan lain.

Contoh:

(a). Beberapa, buku berat yang ingin dibawa melalui pedalanan udara

(b). Air panas dan dingin, untuk dipakai mandi

(c). 6 unit listrik untuk radio

Pemikiran 2 : Kualifikasi fisik dari objek-objek ini

Contoh:

(a). Bertanya

(b). Temperaturnya

(c).  Kekuatan elektriknya

Pemikiran 3 :Konsep matematis, dalam kasus ini pengukuran dari kualifikasi­kualifikasi ini

Contoh:

(a). Pengukuran berat, kilogram atau berat

(b). Pengukuran temperatur, derajat celcius

(c).  Pengukuran kekuatan elektriknya, dalam volt.

Dari setiap pemikiran ini, ada, operasi korespondensi yang harus dihasilkan jika model tersebut benar.

Pemikiran 1 : Operasi pada objek fisik

Contoh:

(a).    Memasukkan sernuanya, ke dalam tas yang sama

(b).  Menjalankan keduanya pada tempat mandi yang sama dan mencampurkannya.

(c).        Menghubungkan sel tersebut dalam hubungan seri.

Pemikiran 2 : Operasi pada kualifikasi fisik

Contoh:

(a). Mengkombinasikan beratnya

(b). Mengkombinasikan temperaturnya,

(c).  Mengkombinasikan kekuatan elektriknya

Pemikiran 3 : Operasi matematis

Contoh:

(a). Menjumlahkan bilangan kilogram atau gram

(b). Data tidak cukup (kita perlu tahu juga kecepatan aliran, tapi jelas bukan   penjumlahan)

(c).  Menjumlahkan bilangan volts.

Contoh-contoh seperti (a) dan (c) mengindikasikan bahWa bagaimanapun bervariasinya kenyataan fisik yang divirtualisasikan, model matematis dapat digunakan: penjumlahan unit yang sederhana. Contoh seperti (c) mengingatkan kita untuk berhati-hati, tapi meskipun di kasus ini modelnya cocok, jika kecepatan aliran sama, penjumlahan diikuti oleh satu operasi lagi (pembagian 2). Jika mereka tidak sama, modelnya tetap sederhana, dinyatakan dengan formula (f₁t₁+ f₂t₂)/( f₁+ f₂), dimana f₁ , dan f₂ menyatakan 2 kecepatan aliran dalam liter/menit dan t₁ , dan t₂ menyatakan temperatur.

Kapanpun sesorang menemukan kombinasi operasi matematis dia dapat memprediksi dengan baik hasil fisiknya, dia dapat menemukan model matematis baru. Dan akapanpun kita menggunakan matematika untuk membantu kita di setiap hari atau dalam aktivitas ilmiah, atau kita menjumlahkan kredit, atau menghitung frekuensi resonansi dari sirkuit elek-trik, kita melakukannya dengan membuat dan memanipulasi model matematika

***

(Source : Fitriani Nur, Mahasiswa PPs UNM Makassar | Prodi Pendidikan Matematika, 2008)